John Wallis
John Wallis y sus aportaciones al calculo (amigo de Newton)
John Wallis (1616 - 1703) publicó en 1655 un tratado Arithmetica infinitorum (_La Aritmética de los infinitos) en el que aritmetizaba el método de los indivisibles de Cavalieri. Para ilustrar el método de Wallis consideremos el problema de calcular el área bajo la curva y = xk (k = 1, 2, . . . ) y sobre el segmento [0, a] (ver figura (6)). Siguiendo a Cavalieri, Wallis considera la región PQR formada por un número infinito de líneas verticales paralelas, cada una de ellas con longitud igual a xk. Por tanto, si dividimos el segmento PQ = AB = a en n partes de longitud h = a/n, donde n es infinito, entonces la suma de estas infinitas líneas es del tipo 0k + hk + (2h)k + (3h)k + _ _ _ + (nh)k (3)
Análogamente, el área del rectángulo ABCD es ak + ak + ak + _ _ _ + ak = (nh)k + (nh)k + (nh)k + _ _ _ + (nh)k (4) La razón entre el área de la región PQR y el rectángulo ABCD es
Esto lleva a Wallis a estudiar el valor de la expresión (5) para n = ¥1. Después de estudiar varios casos para valores de k = 1, 2, 3 haciendo, en cada caso, sumas para distintos valores de n = 1, 2, 3, 4, Wallis observa ciertas regularidades en las mismas y, con tan débil base, acaba afirmando que para n = ¥ y para todo k = 1, 2, . . . , se verifica que:
Naturalmente, de aquí deduce el valor del área de la región PQR:
Este resultado ya era conocido anteriormente, pero Wallis no se paraba aquí y extendía la validez de la igualdad (6) a todos los exponentes racionales positivos. Su peculiar razonamiento tiene interés pues en él se basó Newton para obtener la serie binomial. Lo esencial del mismo puede resumirse, en términos actuales, como sigue. Definamos el índice, s( f ), de una función f mediante la igualdad
suponiendo que dicho límite tenga sentido. Por ejemplo, (6) nos dice que el índice de la función fk(x) = xk es s( fk) = k para k = 1, 2, . . . . 1Fue precisamente Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del _lazo del amor_, ¥, con el significado de _infinito_. Wallis observó que, dada una progresión geométrica de potencias de x como, por ejemplo 1, x3, x5, x7, . . . , la correspondiente sucesión de índices 0, 3, 5, 7, . . . forman una progresión aritmética. Como s( fk) = k, esta observación es trivial, pero le permite dar un atrevido salto adelante, de manera que mediante una audaz interpolación establece (sin demostración) que una conclusión análoga puede deducirse para la progresión geométrica
De esta forma obtiene que
Wallis estaba convencido de la validez de su método, conocido posteriormente como interpolación de Wallis, que tuvo importancia en el siglo XVIII. Puede considerarse como un intento de resolver el siguiente problema: Dada una sucesión Pk, definida para valores enteros de k, encontrar el significado de Pacuando a no es un número entero. Además, Wallis deduce que necesariamente debe ser
Será Newton, poco más tarde, quien siguiendo los pasos de Wallis, introducirá el uso de potencias fraccionarias y negativas. Wallis, incluso llega a afirmar que la igualdad
no es válida solamente para exponentes r racionales, sino también para otros como
p
3
pero, naturalmente, no puede dar ninguna justi_cación.
Obtenida, a su manera, la cuadratura fundamental (9), Wallis intenta calcular la integral
Dicha integral representa el área bajo la semicircunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2, su valor es, por tanto, p/8. Wallis quería obtener dicho resultado evaluando directamente la integral. No tuvo éxito en este empeño que Newton habría de resolver posteriormente, pero sus resultados le llevaron a obtener la llamada fórmula de Wallis
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